Грамматика ложбана/16.12
Логические связки и Закон де Моргана
Закон де Моргана гласит, что если логическая связка между термами содержит отрицание, то расширение отрицания требует изменения связки. Таким образом (где «p» и «q» обозначают термы или предложения), «не (p или q)» идентично «не p и не q», а «не (p и q)» идентично «не p или не q». Соответствующие изменения для двух других основных связок Ложбана таковы: «не (p эквивалентно q)» идентично «не p исключающее-или не q», а «не (p истинно-независимо-от q)» идентично как «не p истинно-независимо-от q», так и «не p истинно-независимо-от не q». В любом предложении Ложбана, имеющем одну из основных связок, вы можете делать замену в любом направлении, исходя из этих тождеств. (Эти основные связки объясняются в главе 14).
Действие закона де Моргана на логические связки, созданные путем модификации базовых связок с помощью nai , na и se, может быть получено непосредственно из этих правил; модифицируйте базовую связку для закона де Моргана, подставив вышеприведенные тождества, а затем примените каждый модификатор nai, na и se к исходным связкам. Отмените все получившиеся двойные отрицания.
Когда мы применяем закон де Моргана? Всякий раз, когда мы хотим «распределить» отрицание по логическому соединителю; а для внутреннего отрицания naku – всякий раз, когда логический соединитель входит в область действия отрицания или выходит из нее – когда он пересекает границу отрицания.
Давайте применим закон де Моргана к некоторым примерам предложений. В этих предложениях используются логические связки предвидения, которые объясняются в разделе 14.5. Достаточно знать, что ga и gi , используемые перед каждой парой sumti или bridi, означают «или», а ge и gi, используемые аналогичным образом, означают «и». Кроме того, ga, ge и gi могут иметь суффикс nai, чтобы отрицать следующее за ними bridi или sumti.
Мы определили na и naku zo'u как, соответственно, внутреннее и внешнее bridi отрицание. Поскольку эти формы идентичны, граница отрицания всегда остается на левом конце префикса. Таким образом, экспорт или импорт отрицания между внешними и внутренними формами отрицания bridi никогда не требует применения закона де Моргана. Примеры 16.94 и 16.95 абсолютно эквивалентны:
16.94) la .djan. na klama ga la .paris. gi la .rom.
Джон [ложь] идёт-в или Париж или Рим
16.95) naku zo'u la .djan. klama ga la .paris. gi la .rom.
Это-ложь что: Джон идёт-в или Париж или Рим
Перемещение отрицания с уровня bridi на один или несколько sumti не является приемлемой логической манипуляцией. Однако пример 16.94 и связанные с ним примеры не являются отрицаниями sumti, а скорее расширяются, образуя два логически связанных предложения. В такой ситуации необходимо применить закон де Моргана. Например, пример 16.95 расширяется до:
16.96) ge la .djan. la .paris. na klama gi la .djan. la .rom. na klama
[это-ложь-что] и Джон в-Париж [ложь] идёт, и Джон в-Рим [ложь] идёт.
ga и gi, означающие «или-и», превратились в ge и gi, означающие «и то, и другое», в результате перемещения отрицаний в отдельные bridi.
Вот еще один пример закона де Моргана в действии, связанный с логической связью bridi-хвостов (объясняется в разделе 14.9):
16.97) la .djein. le zarci na ge dzukla gi bajrykla
Джейн в-магазин [ложь] и идёт и бежит.
16.98) la .djein. le zarci ganai dzukla ginai bajrykla
Джей в-магазин или-ложь идёт или-ложь бежит.
Джей в-магазин если идёт тогда-ложь бежит.
(Помещение le zarci перед selbri гарантирует, что оно будет правильно связано с обеими частями логической связи. В противном случае его легко ошибочно не включить в одно из двух предложений).
Прежде чем свободно выполнять преобразования, подобные преобразованию из примера 16.97 в пример 16.98, следует ознакомиться с расширением логических связок до отдельных предложений, преобразованием предложений, а затем их повторным согласованием. Таким образом, вы докажете правильность преобразования, выполнив следующие действия. Переместив na в начало предлога как naku, пример 16.97 превращается в:
16.99) naku zo'u la .djein. le zarci ge dzukla gi bajrykla
Это-ложь-что : Джейн в-магазин (и идёт и бежит)
И разделив bridi с логически связанными selbri на две bridi,
16.100) naku zo'u ge la .djein. le zarci cu dzukla gi la .djein. le zarci cu bajrykla
Это-ложь-что : и (Джей в-магазин идёт) и (Джейн в-магазин бежит)
вот результат.
На этом расширенном уровне мы применяем закон де Моргана, чтобы распределить отрицание в предложении по обоим предложениям, чтобы получить
16.101) ga la .djein. le zarci na dzukla gi la .djein. le zarci na bajrykla
Или Джейн в-магазин [ложь] идёт, или Джейн в-магазин [ложь] бежит.
это то же самое, что
16.102) ganai la .djein. le zarci cu dzukla ginai la .djein. le zarci cu bajrykla
Если Джейн в-магазин идёт, тогда-[ложь] Джейн в-магазин бежит.
Если Джейн в магазин идёт, значит, она не бежит.
который затем сводится к примеру 16.98.
Закон де Моргана должен применяться и к внутренним отрицаниям naku:
16.103) ga la .paris. gi la .rom. naku se klama la .djan.
(Или Париж или Рим) есть-не местом-прибытия-для Джона.
16.104) la .djan. naku klama ge la .paris. gi la .rom.
Джон не идёт-в и Париж и Рим.
То, что примеры 16.103 и 16.104 означают одно и то же, должно стать очевидным при изучении русского языка. Хорошее упражнение – поработать с Ложбаном и доказать, что это одно и то же.